Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент некоторого множества. Последовательность записывается в виде , или кратко . Элементы называются членами последовательности, - первым, - вторым, - общим (-м) членом последовательности.
Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей -й член последовательности через его номер . Например, если
Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:
Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.
Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера (то, что неограниченно возрастает, записывается в виде и читается: « стремится к бесконечности»).
Рассмотрим последовательность с общим членом : , , , …, , …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше , тем меньше отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.
Другой пример: - определяет последовательность
Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.
Рассмотрим
еще пример: .
Если представить в виде
то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.
Дадим определение предела последовательности. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно указать такой номер , что при всех выполняется неравенство .
Если есть предел последовательности , то пишут , или ( - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).
Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число в интервал (рис. 1). Число есть предел последовательности , если независимо от малости интервала все члены последовательности с номерами, большими некоторого , будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности.
Для рассмотренной последовательности в -окрестность точки нуль при попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при - все члены последовательности, кроме первых ста.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: . Ее члены попеременно равны и и не стремятся ни к какому пределу.
Если последовательность сходится, то она ограничена, т.е. существуют такие числа и , что все члены последовательности удовлетворяют условию . Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:
«Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». Ж. Фурье
Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности равен тогда, и только тогда, когда представимо в виде суммы , где - бесконечно малая.
Рассмотренные последовательности являются бесконечно малыми. Последовательность , как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую , и потому предел этой последовательности равен 1.
Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность называется бесконечно большой, если последовательность бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность записывают в виде , или , и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:
Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.
Рассмотрим последовательности и . Можно определить последовательности с общими членами , , и (если ) . Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности и сходящиеся, то сходятся также последовательности , , , и имеют место равенства:
В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие .
Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом и невозрастающие. Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше , либо равно . В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .
С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число - основание натуральных логарифмов:
.
Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен , то число должно удовлетворять равенству . Решая это уравнение, получаем .
Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.
Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…
Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;
a 2 - второй член последовательности;
a 3 - третий член последовательности;
a 4 - четвертый член последовательности и т.д.
Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.
Существуют следующие способы задания числовой последовательности:
1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.
Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.
Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.
Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.
2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.
a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;
a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;
a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;
a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.
Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .
Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.
3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },
если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .
a 2 =5+a 1 =5+7=12;
a 3 =5+a 2 =5+12=17;
a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .
Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },
если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .
b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;
b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;
b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .
4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .
Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.
Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .
Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).
Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.
Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.
Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).
Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.