Без сомнения, всем в детстве нравилось играться с магнитом. Раздобыть постоянный магнит было очень просто: для этого нужно было найти старую колонку, извлечь из нее звуковоспроизводящий динамик и, после несложных «вандальных действий», достать из нее кольцевой магнит. Неудивительно, что многие проводили опыт с металлическим опилками и листом бумаги. Опилки располагались полосами - вдоль линий напряженности поля.

В электротехнике намного большее распространение получили не постоянные, а электромагниты. Из курса физики известно, что при протекании электрического тока по проводнику, вокруг последнего создается магнитное поле, величина которого непосредственно связана с действующим значением тока.

Сомневающиеся могут повторить простейший опыт Эрстеда, когда рядом с прямолинейным проводником с током размещается компас. При этом стрелка будет отклоняться от географического северного полюса планеты (перпендикулярно проводу). Направление отклонения можно определить при помощи правила правой руки: размещаем правую руку параллельно проводнику ладонью вниз. 4 пальца должны указывать Тогда отогнутый на 90 градусов большой палец укажет сторону отклонения стрелки. Вокруг прямого провода магнитное поле имеет вид цилиндра с проводом посередине. А вот линии напряженности образуют кольца.

В электротехнике указанные используются, прежде всего, в катушках. Часто можно услышать выражение «магнитное поле соленоида». Представим себе обыкновенный гвоздь и тонкий провод в изоляции. Равномерно наматывая провод на гвоздь, получаем соленоид. В данном случае гвоздь влияет на магнитное поле соленоида, но это тема совершенно другой статьи. Важно понять, что именно понимают под термином. Если теперь подключить катушку к то вокруг нее возникнет магнитное поле.

Поля соленоида прямопропорциональна значению индуктивности и квадрату проходящего по виткам тока. В свою очередь, индуктивность зависит от квадрата числа витков. При этом нужно учитывать конструкцию обмотки: это может быть простой случай с одним слоем витков, а также многослойная структура, где направление тока в витках оказывает корректирующее действие на суммарную энергию. Соленоиды используются в схемах трамваев, режущих механизмов, контакторов и пр.

Магнитное поле соленоида представляет собой кольца, выходящие из одного конца обмотки и входящие в другой. Внутри катушки силовые линии не прерываются, а распространяются в диэлектрической среде или по проводящему сердечнику. Следствие: поле соленоида полярно. Линии выходят из магнитного северного полюса, а возвращаются в южный. Нетрудно догадаться, что магнитное поле соленоида зависит от полярности источника тока, подключенного к концам провода. Магнитные свойства соленоида практически совпадают с Это позволяет использовать соленоид в качестве электромагнита. На производстве можно увидеть краны, у которых вместо крюка размещен диск электромагнита. Это «большой брат» соленоида - обмотка на сердечнике. Особенность всех электромагнитов в том, что магнитные свойства существуют лишь при протекании тока по виткам.

Кроме соленоидов часто используются тороиды. Это те же самые витки провода, но намотанные на магнитопроводе круглой формы. Соответственно, магнитное поле соленоида и тороида различны. Главная особенность в том, что силовые линии распространяются по основе-магнитопроводу внутри самой катушки, а не вне ее, как в случае соленоида. Все это свидетельствует о более высоком КПД катушек на кольцевом магнитопроводящем материале. Следствие: надежны и обладают меньшими потерями, чем их привычные собратья.

Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят примерно так, как показано на рис. 50.1. Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему.

У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси. Кроме того, линейная плотность тока (равная отношению силы тока к элементу длины соленоида ) изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Среднее значение этой плотности равно

где - число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, I - сила тока в соленоиде.

В учении об электромагнетизме большую роль играет воображаемый бесконечно длинный соленоид, у которого отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока постоянна по всей длине. Причина этого заключается в том, что поле такого соленоида однородно и ограничено объемом соленоида (аналогично электрическое поле бесконечного плоского конденсатора однородно и ограничено объемом конденсатора).

В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра, обтекаемого током постоянной линейной плотности

Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи - «витки».

Из рис. 50.2 видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси.

Из рис. 50.1 вытекает, что направления поля внутри и вне конечного соленоида противоположны. При увеличении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при остаются противоположными. Для бесконечного соленоида, как и для конечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему.

Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным. Чтобы доказать это, возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1-2-3-4 (рис. 50.3; участок идет по оси соленоида). Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю (см. (49.7)).

Отсюда следует, что Располагая участок контура 2-3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция на этом расстоянии равна индукции на оси соленоида. Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана.

Теперь обратимся к контуру 1-2-3-4. Мы изобразили векторы штриховой линией, поскольку, как выяснится в дальнейшем, поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Пока же мы знаем лишь, что возможное направление поля вне соленоида противоположно направлению поля внутри соленоида. Контур не охватывает токов; поэтому циркуляция вектора В по этому контуру, равная а, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что . Расстояния от оси соленоида до участков 1-4 и 2-3 были взяты произвольно. Следовательно, значение В на любом расстоянии от оси будет вне соленоида одно и то же. Таким образом, оказывается доказанной и однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру, изображенному на рис. 50.4, равна (для обхода по часовой стрелке). Этот контур охватывает положительный ток величины . В соответствии с (49.7) должно выполняться равенство

или после сокращения на а и замены на (см. )

Из этого равенства следует, что поле как внутри, так и снаружи бесконечного соленоида является конечным.

Возьмем плоскость, перпендикулярную к оси соленоида (рис. 50.5). Вследствие замкнутости линий В магнитные потоки, через внутреннюю часть 5 этой плоскости и через внешнюю часть S должны быть одинаковыми.

Поскольку поля однородны и перпендикулярны к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующего значения магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком. Таким образом, получается соотношение

Левая часть этого равенства конечна, множитель S в правой части бесконечно большой. Отсюда следует, что

Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю. Внутри соленоида поле однородно.

Положив в (50.3) , придем к формуле для магнитной индукции внутри соленоида:

Произведение называется числом ампер-витков на метр. При витков на метр и силе тока в 1 А магнитная индукция внутри соленоида составляет .

В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад (см. формулу (47.4)). Поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине значения (50.4): - число витков на единицу его длины). В этом случае

Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает, поэтому для него Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю.

Для тороида, радиус которого R значительно превосходит радиус витка, отношение для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и вместо (50.6) получается формула, совпадающая с формулой (50.4) для бесконечно длинного соленоида. В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений тороида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому говорить об однородности поля в пределах его тороида можно только условно, имея в виду одинаковость модуля В.

У реального тороида имеется составляющая тока вдоль оси. Эта составляющая создает в дополнение к полю (50.6) поле, аналогичное полю кругового тока.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка с соленоидом, источник питания, милливольтметр, амперметр.

Краткая теория

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, содержащая большое, число витков провода, по которому идет ток. Если шаг вин­товой линии проводника, образующего катушку, мал, то каждый ви­ток с током можно рассматривать как отдельный круговой ток, а соленоид - как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую ось.

Магнитное поле внутри соленоида можно представить как сумму магнитных полей, создаваемых каждым витком. Вектор индукции маг­нитного поля внутри соленоида перпендикулярен плоскости витков, т.е. направлен по оси соленоида и образует с направлением кольце­вых токов витков правовинтовую систему. Примерная картина силовых линий магнитного поля соленоида показана на рис. 1. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

На рис, 2 показано сечение соленоида длиной L и с числом витков N и радиусом поперечного сечения R. Кружки с точками обозначают сечения витков катушки, по которым идет ток I , на­правленный от чертежа на нас, а кружки с крестиками - сечения вит­ков, в которых ток направлен за чертеж. Число витков на единицу длины соленоида обозначим .

Индукция магнитного поля в точке А, расположенной на оси соленоида, определяется путем интегрирования магнитных полей, со­здаваемых каждым витком, и равна

, (1)

где и - углы, образуемые с осью соленоида радиус-векто­рами и , проведенными из точки А к крайним виткам солено­ида, -магнитная проницаемость среды, магнитная постоянная.

Таким образом, магнитная индукция В прямо пропорциональна си­ле тока, магнитной проницаемости среды, заполняющей соленоид, и числу витков на единицу длины. Магнитная индукция также зависит от положения точки А относительно концов соленоида. Рассмотрим нес­колько частных случаев:

1. Пусть точка А находится в центре соленоида, тогда , и . Если соленоид достаточно длинный, то и (2)

2. Пусть точка A находится в центре крайнего витка, тогда , и . Если солено­ид достаточно длинный, то , и (3)

Из формул (2) и (3) видно, что магнитная индукция соленоида на его краю вдвое меньше по сравнению с ее величиной в центре.

3. Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков
("бесконечно" длинный соленоид), то для всех точек, лежащих внутри
соленоида на его оси, можно положить . Тогда
поле можно считать в центральной части соленоида однородным и рассчитывать его по формуле

Однородность магнитного поля нарушается вблизи краев соленоида. В этом случае индукцию можно определять по формуле

где k - коэффициент, учитывающий неоднородность поля.

Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида в данной работе осуществляется с помощью специального зонда - маленькой катушки, укрепленной внутри штока с масштабной линейкой. Ось катуш­ки совпадает с осью соленоида, катушка подключается к милливольт­метру переменного тока, входное сопротивление которого много боль­ше сопротивления катушки-зонда. Если через соленоид идет перемен­ный ток стандартной частоты ( =50 Гц), то внутри соленоида и на его краях индукция переменного магнитного поля изменяется по закону (см. (5)):

Амплитуда магнитной индукции в этой формуле зависит от положения точки внутри соленоида. Если поместить в соленоид катуш­ку-зонд, то в соответствии с законом электромагнитной индукции, в ней возникает ЭДС индукции:

, (6)

где N 1 - число витков в катушке, S - площадь поперечного сече­ния катушки, Ф - магнитный поток ( , т.к. ось катушки совпадает с осью соленоида и, следовательно, вектор магнитной ин­дукции перпендикулярен плоскости поперечного сечения катушки.).

Так как величина индукции B изменяется по закону , , то из (6) получается формула для расчета ЭДС:

Из выражения (7) видно, что амплитуда ЭДС зависит от . Таким образом, измеряя амплитуду ЭДС, можно определить :

Коэффициент k учитывающий неоднородность магнитного поля соленоида на краях, можно о определить., по формуле. (5), зная и :

(9)

где - амплитуда переменного тока, идущего через соленоид.

Из формул (7) и (9) следует, что амплитуда ЭДС индукции прямо пропорциональна амплитуде переменного тока :

Включенные в цепь переменного тока амперметр и милливольт­метр измеряют действующие значения тока и ЭДС , которые связаны с амплитудами и соотношениями:

Для действующих значений тока и ЭДС формула (10) имеет вид

(11)

Из формулы (11) следует, что отношение пропорциональ­но коэффициенту K неоднородности индукции магнитного поля в точке соленоида, где проводятся измерения

(12)

где А - коэффициент пропорциональности.

В данной работе требуется выполнить два задания: 1) опреде­лить распределение индукции вдоль оси соленоида при некотором постоянном значении тока; 2) определить значение коэффициента к.

Техника безопасности:

1. Не подключают/ самостоятельно источник питания и милливольтметр к сети 220 В.

2. Не производить переключения цепей, находящихся под напряжением.

Не прикасаться к неизолированным частям цепей.

3. Не оставлять без присмотра включенную схему.

Порядок выполнения работы

Задание № 1. Исследование распределения индукции магнитного поля вдоль оси соленоида.

1. Собрать измерительную цепь по схеме, приведенной на рис. 3. Для этого в цепь соленоида включить источник питания и амперметр, а к выводам катушки - зонда - милливольтметр (для измерения ) В данной установке катушка-зонд имеет следующие параметры: =200 витков, S=2*10 -4 м 2 , частота переменного тока = 50 Гц, Число витков на единицу длины соленоида n = 2400 1/м

1- лабораторный стенд Z - шток «

2- катушка-зонд

3- соленоид
5- амперметр

6- источник питания с регулятором выход­ного напряжения (тока), 7- милливольтметр.

2. Установить шток с масштабной линейкой так, чтобы катушка-зонд оказалась примерно в середине соленоида.

3.Включить источник питания соленоида и установить ток соленоида (по амперметру), равный =25мА. Включить милливольтметр и после прогрева (5 мин) снять показания .

4.Перемещая шток с масштабной линейной, измерить при помощи
милливольтметра действующее значение ЭДС индукции через каждый
сантиметр положения линейки. По формуле (8) вычислить .
Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1 (учтите, что ).

Лабораторная работа № 9

Изучение магнитного поля соленоида

1.Цель работы

Изучение распределения магнитного поля конечного соленоида при помощи явления электромагнитной индукции.

2.Краткое теоретическое введение

Соленоид – это цилиндрическая катушка, обмотка которой состоит из большого числа витков проволоки, образующих винтовую линию. Если витки расположены вплотную, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов, имеющих общую ось. Индукция магнитного поля в любой точке соленоида равно векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых в данной точке всеми витками. Вектор магнитной индукций в точке, лежащей на оси соленоида конечных размеров, направлен вдоль оси, а его значение вычисляется по формуле:

, (1)

где L - длина соленоида, R –радиус его витков,

Х – расстояние от края соленоида до исследуемой точки,

I – сила тока, протекающего по виткам,

n - число витков на единицу длина соленоида,

Относительная магнитная проницаемость среды,

μ0 - магнитная постоянная.

Единицей измерения индукции магнитного поля в системе СИ является «Тесла»: [B] = Тл

Из выражения (1) следует, что индукция магнитного поля максимальна на оси соленоида в точке, соответсвующей его середине:

. (2)

Если длина соленоида намного превышает радиус его витков, то соленоид можно условно считать бесконечно длинным. Магнитное поле внутри бесконечно длинного соленоида является однородным, при этом его индукция равна:

. (3)

Распределение магнитного поля соленоида конечной длины является более сложным по сравнению с простейшим случаем бесконечно длинного соленоида. Для многих других конфигураций магнитного поля, теоретический расчет которых затруднителен, предпочтительней определять магнитную индукцию экспериментально.

Величину можно измерить, использую, например, явление электромагнитной индукции. Если в некоторую точку магнитного поля поместить не большой контур, то при изменениях магнитного потока, пронизывающего этот контур, в последнем возникнет э. д.с., индукции, электромагнитной индукции (закону Фарадея), имеем:

В настоящей работе в качестве контура используется измерительная катушка (ИК), состоящая из большого количества витков N. Возникающая в ней э. д.с. индукции складывается из э. д.с. отдельных витков, т.е.

, (5)

где S –площадь поперечного сечения ИК.

Если в обмотке соленоида протекает переменный ток, то магнитное поле, создаваемое этим током, также является переменным, т. е.

, (6)

где В0 - амплитудное значение магнитной индукции,

– циклическая частота переменного тока.

Из формул (5) и (6) следует, что э. д.с. индукции, наведения ИК, изменяется во времени по закону:

e = e0 sin(wt) (7)

где e0 - амплитудное значение э. д.с., равное

e0 = NSwB0 = kB0 , (8)

Коэффициент называется градуировочной постоянной измерительной установки. Ее можно определить экспериментально.

Вольтметр, используемый для измерения э. д.с. индукции e, показывает эффективное значение переменного напряжения U, связанное с амплитудным значением э. д.с. (e0) соотношением:

https://pandia.ru/text/80/314/images/image011_30.gif" width="92" height="26"> . (10)

Из формул (9) и (10) следует, что отношение эффективного напряжения в любой точке нахождения ИК к его максимальному эффективному значению в центре соленоида равно отношению магнитной индукции в этой точке к максимальной магнитной индукции в центре соленоида:

. (11)

Поэтому распределение индукции магнитного поля соленоида можно изучать, не вычисляя градуировочную постоянную измерительной установки k.

3.Описание экспериментальной установки.

Внутри исследуемого соленоида при помощи стрежня с указателем, скользящим вдоль шкалы, может перемещаться измерительная катушка. Ось катушки параллельна оси соленоида. ИК можно передвигать и в направлении, перпендикулярном оси соленоида. Установка собирается по электрической схеме, приведенной на рис.1. Обмотка соленоида питается переменным током, измеряемым амперметром и изменяемым при помщи реостата. Э. д.с. индукции, возникающая в ИК, измеряется вольтметром. Это эффективное значение э. д.с. индукции, связанное с амплитудным значением индукции магнитного поля соленоида в точке нахождения ИК по формуле (9).

Измерения сводятся к фиксации координаты расположения ИК относительно соленоида и значения э. д.с. индукции, соответствующего этому положения.

4.Рабочее задание

Задание 4.1. Распределение индукции магнитного поля конечного соленоида.

4.1.1. Соберите электрическую цепь по схеме на рис.1

4.1.2. Установите фиксированный ток в обмотке соленоида 1,5А.

4.1.3. Изменяя положение ИК относительно соленоида, измерьте э. д.с. индукции. ИК следует перемещать вдоль оси соленоида 2 см, записывая для каждой координаты показания вольтметра в таблицу 4.1.

4.1.4..gif" width="84" height="45">, пользуясь расчетными формулами (1),(2). Сравните экспериментальную и теоретическую зависимости. Оцените систематическую погрешность проведенных измерений.

Таблица 4.1.

Задание 4.2. Зависимость величины магнитной индукции от силы тока в соленоиде.

4.2.1. Установите ИК в середине соленоида, где магнитное поле максимально.

4.2.2. Для разных значений тока в соленоиде измерьте э. д.с. индукции, наведенной в ИК. Для этих же значений тока рассчитайте значения магнитной индукции в центре конечного соленоида, пользуясь формулой (2). Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 4.2.

4.2.3. Постройте, желательно используя метод наименьших квадратов, график зависимости 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Ток соленоида, Ic, A

Э. д.с. индукции

Индукция магнитного поля

Предел измерения

Показание прибора

Значение тока

Вmax, 10-3 Тл

Рис 1.Электрическая схема экспериментальной установки

Задание 4.3. Радиальное распределение индукции магнитного поля конечного соленоида.

4.3.1. Установите ИК на краю соленоида.

4.3.2. Установите фиксированный ток в обмотке соленоида 1,5А.

4.3.3. Передвигая Ик в направлении, перпендикулярном оси соленоида, измерьте э. д.с. индукции. ИК следует перемещать на 0,5 см, записывая для каждой координаты показания вольтметра в таблицу 4.3.

4.3.4. Зная значение градуировочной постоянной измерительной установки, вычислите по формуле (9) для каждой координаты значение индукции магнитного поля.

4.3.5. Постройте график зависимости В = f(х).

4.3.6. Установите ИК в центре соленоида.

4.3.7. Выполните для этого положения ИК задания п. п. 4.3.4.-4.3.6.

4.3.8. Перепишите в тетрадь следующие постоянные величины: длину соленоида, его диаметр, число его витков, длину измерительной катушки, ее диаметр, число ее витков.

Таблица 4.3.

В приложении приведена программа для обработки результатов лабораторной работы на ЭВМ. При вводе экспериментальных данных не забудьте перевести их в систему единиц СИ.

5.Контрольные вопросы

5.1. Что такое индукция магнитного поля?

5.2. Какие методы измерения магнитной индукции Вы знаете?

5.3. В чем заключается явление электромагнитной индукции?

5.4. Можно ли в данной работе использовать источник постоянного тока?

5.5. Какова природа возникновения э. д.с. индукции в ИК?

5.6. Выведите формулу индукции магнитного поля бесконечно длинного соленоида.

5.7. Чему равно отношение значений магнитной индукции внутри бесконечно длинного соленоида и на срезе полубесконечного соленоида?

5.8. Каков источник систематической погрешности?

6.Литература

6.1. Калашников.-М.:Наука, 1977.

6.2. Сивухин курс физики.-М.: Наука, 1977.

6.3. Матвеев и магнетизм. -М.: Высшая школа, 1991.

6.4. , Малов общей физики: Электричество и магнетизм.-М.: Просвещение, 1980.

Магнитное поле соленоида.

В уточнённой модели соленоида конечной длины учтём более реальный вид навивки тонкого провода на каркас соленоида. Основным токонесущим элементом конструкции будем считать винтовую линию. Рассмотрим соленоид с каркасом в форме цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой является окружностью радиуса . Пусть продольная ось соленоида, как в предыдущем примере, совпадает с осью аппликат, координаты конечных сечений соленоида на оси аппликат имеют значения и , тонкий проводник намотан на каркас равномерно с шагом , то есть число витков на единицу длины соленоида составляет величину , по проводнику течёт ток .

Радиус-вектор точки наблюдения М по условию определен координатами:

Радиус-вектор расположения элемента контура с током опишем с помощью параметрического представления:

Легко видеть, что при возрастании величины параметра на величину радиус-вектор совершит полный оборот вокруг продольной оси соленоида и сместится на шаг навивки относительно исходного положения в пространстве. Будем считать, что электрический ток течет по проводнику в направлении, определяемом увеличением параметра . Проекции вектора на оси декартовой системы координат имеют вид:

(3)

В соответствии с дифференциальной формой закона Био-Савара-Лапласа (1) раздела 6.2 получаем проекции вектора магнитной индукции на оси декартовых координат для произвольной точки наблюдения:

(3)

, (4) . (5)

Как это ни удивительно, но уточнённая модель приводит к более простым зависимостям для проекций дифференциала вектора магнитной индукции: для расчёта величин проекций искомого вектора понадобится только однократное интегрирование по параметру . Пределы интегрирования определяются при этом условием, что тонкий проводник достиг крайнего сечения соленоида:

Выпишем квадратуры для проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат для произвольной точки наблюдения:

, (7)

, (8)

. (9)

Численные значения проекций вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат легко вычисляются с помощью пакета символьных вычислений Maple, если заданы характеристики системы токов и координаты точки наблюдения. Ниже для определенности положим Проведем вычисления осевой составляющей индукции магнитного поля в сечении z=0 в зависимости от координаты x (радиальное направление!). Результаты расчета представлены на рис. 2. Здесь имеет смысл обратить внимание на небольшую неоднородность магнитного поля внутри соленоида (|x|<1) и наличие осевой составляющей магнитного поля вне соленоида (последнее характерно для соленоида конечных размеров).

В качестве второго примера вычислим распределение осевой составляющей магнитной индукции вдоль оси соленоида при сохранении параметров системы токов (рис. 3). Здесь можно отметить качественное совпадение результатов расчета с подобными результатами упрощенной модели соленоида (рис.2 предыдущего раздела).

На практике чаще всего параметр навивки - отношение шага навивки к радиусу поперечного сечения соленоида - не играет существенной роли, но в отдельных случаях подробный расчет может оказаться полезным.

6.2.6. Поверхностная модель земного магнетизма .

У.Гильберт 400 лет тому назад установил, что Земля является «большим магнитом»: поведение стрелки компаса на земной поверхности похоже на поведение намагниченной стрелки в окрестности экспериментального магнитного шара. Во времена У.Гильберта ещё не было ни теории электричества, ни теории магнитного поля. В современных условиях интересно попробовать смоделировать образование магнитного поля Земли, играющего такую важную роль как обеспечении радиационной безопасности жизни на Земле, так и в практической навигации.

Допустим, что по поверхности сферы радиуса течёт ток постоянной по величине погонной плотности в азимутальном направлении. Величина погонной плотности тока определяется выражением

Здесь - дифференциал сила тока, - элемент дуги на поверхности сферы, перпендикулярный направлению тока, - дифференциал угловой координаты сферической системы координат.

Элемент длины «контура», связанного с описанным дифференциалом силы тока определяется выражением

, (2)

координаты точки расположения элемента имеют вид

, (3)

а его проекции на координатные направления декартовой системы координат

Если координаты точки наблюдения М определены проекциями радиус-вектора {x,y,z}, то не представляет труда выписать последовательно выражения для разности радиус-векторов точки наблюдения и точки расположения элемента контура с током, для модуля этой разности, для векторного произведения и получить зависимости для дифференциалов проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения:

(5)

Для реализации практических вычислений в приведенные соотношения вместо «штрихованных» величин необходимо подставить их выражения с использованием координат сферической системы координат (4).

В соответствии с принципом суперпозиции необходимо просуммировать вклад всех элементов «контуров» с током в величину каждой из проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения. Если декартовы координаты точки наблюдения записать с помощью сферических координат, то проекции вектора магнитной индукции на оси декартовой системы координат в точке наблюдения описываются следующими квадратурами:

Здесь , и - угловые координаты точки наблюдения в сферической системе координат.

Располагая полученными соотношениями, можно вычислить направляющие косинусы вектора магнитной индукции относительно исходной декартовой системы координат

, (7)

и записать уравнения для расчёта координат силовой линии в дифференциальной форме:

( для фиксированной точки силовой линии).

Интересно проанализировать зависимости «горизонтальной» и «вертикальной» составляющих вектора магнитной индукции над поверхностью несущей ток сферы от «северной широты» точки наблюдения. Численные результаты при этом таковы. На экваторе () горизонтальная составляющая поля направлена по меридиану в сторону «южного полюса», вертикальная составляющая равна нулю. На широте 45 0 () имеют место и горизонтальная, и вертикальная составляющие магнитного поля, причем абсолютная величина горизонтальной составляющей меньше, чем аналогичная величина на экваторе, а направленность в сторону южного полюса сохранилась. На «северном полюсе» () горизонтальная составляющая магнитного поля обращается в нуль, а вертикальная достигает максимального значения. Полученный результат объясняет причину трудностей определения местоположения в окрестности «северного полюса» сферы: компас теряет способность указывать направление на полюс.

6.2.7. Объёмная модель земного магнетизма .

Рассмотрим более сложную модель распределения электрического тока в земном шаре. Теперь нам предстоит рассчитать магнитное поле, образованное электрическим током, текущим в объёме сферы в азимутальном направлении с известной объёмной плотностью тока.

Допустим, что по объёму сферического тела радиуса течёт ток с постоянной по величине объёмно плотностью в азимутальном направлении. Элемент сила тока с учётом его направления в пространстве при этом можно описать с помощью выражения

В этом выражении - элемент объёма, в котором течёт ток, - координаты этого элемента объёма в сферической системе координат. Допустим, что координаты точки наблюдения имеют вид: { }. В соответствующей декартовой системе координат имеем